Calcul différentiel et intégral - 2e édition

Ce cours s'adresse à des lecteurs ayant les connaissancesd'un premier cycle en mathématiques. Il se situe au niveaude la licence et traite d'un certain nombre de questions debase, choisies pour être une introduction à la théorie dessystèmes dynamiques.

Le texte commence par un chapitre sur les équationsdifférentielles (non linéaires) où l'existence et l'unicitédes solutions maximales sont établies et où leur durée devie est discutée. Dans le cas d'une équation différentielleindépendante du temps, l'ensemble de toutes les solutionss'organise en un flot dont les propriétés sontremarquables. Puis vient le calcul différentiel proprementdit avec le théorème des fonctions implicites et sespremières applications géométriques (sous-variétés). Avecces outils on peut reprendre l'étude des équationsdifférentielles et aborder des questions capitales tellesque la stabilité des équilibres.

Dans le calcul intégral on expose la théorie de lamesure, telle qu'elle peut servir en probabilité, puisl'intégrale de Lebesgue sur un espace mesuré avec le fameuxthéorème de convergence dominée et certaines de sesapplications. Le dernier chapitre "intégrales multiples"mélange le calcul différentiel et le calcul intégral. Lethéorème de Fubini est exposé dans le cadre des espacesmesurés. L'intégrale de Lebesgue sur Rn admet une formulepour les changements de variable continûmentdifférentiables qui explique comment le flot d'un champ devecteurs transporte la mesure de Lebesgue. La formule deStokes calcule les intégrables de flux. Le cours se conclutsur le principe de récurrence de Poincaré en mécaniqueconservatrice.